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在数学课堂中实施尝试错误教学的探索

南通市第二中学    李红梅

发表于《科学大众科学教育》

在我们普通高中的数学教学中，经常能听到类似的话：“学生怎么这么笨，这道题目我已经讲过好几遍了，还不会做；老师也不知道怎么当了？”。可能学生的生源差是一个理由，但只是一味的埋怨学生，根本无法提高我们的教学效果，改变现有的状况。英国心理学家贝恩布里说过；“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的”。因此，我们数学教师应适当改变教学方法，正视学生的错误，把学生的典型错误变成教学的宝贵资源，从而大大提高数学课堂的效率。

下面本人就数学教学中利用“尝试错误”教学谈一谈自己的实践和体会。

所谓“尝试错误”教学是指教师根据学生学习中所出现的典型错误，有意识地在课堂教学中试用例子让学生去分析、思考、争辩，然后教师点拨，归纳正确的方法；并进行适当的变式、延伸，从而达到良好教学效果的一种教学方法。

一、正确对待学生的错误，给学生应有的出错“权利”

课堂是学生出错的地方，错误是伴随学生一起成长的。作为数学教师应赋予学生出错的“权利”，解除对错误的恐惧心，让每一个学生认识到发生各种错误是自然的。

对于数学教师来讲，数学教学是教会学生思维的教学，无论我们数学教师讲解的如何精彩，思维必须是学生主动参予的过程，任何别人是无法代替其思维的。正因有这样一个思维的过程，受学生原有的知识水平和个性差异的影响，在知识内化的过程中出现各种各样的错误是完全正常的。

二、“尝试错误”教学是学生学习数学的需要

高中学生经过一定时间的学习，在大脑中已经有了一定的数学知识，形成了一定的认知结构，包括是一些不正确的认知。这就会出现前面所提到的“重复讲了好几遍，但学生还是错”的情况，因此要改变这种恶习，有时正面的讲授往往很难打破学生原有的知识结构，起不到明显的教学效果。

恩格斯指出：“无论从哪方面学习，不如从自己所犯错误的后果学习来的快。”因此在学生的“错误”中，往往包含着学生真实的学习心理，也包含着学生所特有的创造性东西。教师只有正确对待了学生的错误，认同了学生的错误，才能让学生消除了害怕的心态。学生才会在数学课堂教学中大胆回答问题、积极认真去思考相关的问题、并全面展示自己的思维，进而充分暴露思维中的错误，使教师的课堂教学更具有针对性。同时通过问题的暴露，能让学生明白知识的缺陷、思维中的错误，经过引导、纠正，让学生留下深刻的印象。及时打破原有的认知结构，走出困惑，建立新的平衡。而“尝试错误”教学能帮助我们师生克服障碍，走向成功。因此它完全是学生进一步发展的需要。

三、“尝试错误”教学适应新课程改革的教学理念

新一轮高中数学课程改革的理念要求我们教师能不断重新审视传统的课堂教学，要重视基础知识的落实；更需关注学生的学习过程与学习方式；尤为重要的应倡导学生主动参与、乐于探究，培养学生的分析问题与解决问题的各种能力、创新精神。一句话即“变传统的接受式教学为主动式学习，充分体现学生学习的主动性与主体性。”而“尝试错误”教学正是数学教师根据学生的学情有意设计例题，让每一个学生去分析、思考、争辩。在讨论的学习过程中让学生加深数学基础知识的掌握、培养与提高分析问题与解决问题的各种能力，充分体现了学生在学习数学过程中的积极性、主动性和主体性。

四、“尝试错误”教学是提高数学课堂教学的需要

传统的数学课堂教学，教师掌握整个课堂，教师通过层层铺垫、步步引导，带领学生完成课堂教学内容，造成教师讲得很多，而学生的收获却很少。在这一过程中正是缺少了学生问题与错误的暴露、缺少了学生的自主探究。因此这种单一的教学模式，很容易引起学生听觉与视觉的疲劳，大大降低学生的学习效率，严重的会扼杀学生学习数学的兴趣，影响学生学习数学的持续教育。而 “尝试错误”教学能给数学课堂教学注入新鲜的血液，造成意想不到的教学效果。

1．尝试错误教学有利于挖掘学生好奇的心理特点，调动课堂气氛，激发学生学习数学的激情。

兴趣、好奇是学习数学最好的老师。在数学学习中，往往会出现那些貌似神错的问题。数学教师在课堂教学中有意设计这种例子让学生去体会、对比、分析。同时让班级中不同层次的学生大胆发表自己的见解，并及时对学生的回答给予肯定与鼓励，使学生们都能意识到自己受老师的重视，体会到学习数学的成功与乐趣。这样的教学就能抓住学生的心，极大地激发学生的好奇心，调动学生的积极性。

在复习概率与统计知识时，为了让学生掌握各种事件的区别，理解出错的原因，我引用了学生们在不知不觉中会出错的一道题：

例1 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

问：甲答对试题数 的概率分布及数学期望。

误解：设甲能答对每道试题的事件为A，乙能答对每道试题的事件为B

则 ； 

由题 =0，1，2，3

       

       

则 的分布列为

 

ζ	0	1	2	3
P	0．064	0．288	0．432	0．216

 

这是一道结论正确，但过程有错的典型概率问题，实践证明，学生们通过这种错例的争辩，相当清楚地弄明白了概率中的各种事件的区别，在以后的类似问题的求解中，很少出现错误。

2．尝试错误教学有利于巩固数学基础知识，加深对概念、定理、性质的掌握与理解，提高课堂效率。

    心理学家实验表明，人类获取的信息约80%来源于人的视觉，约14%来源于人的听觉，触觉、嗅觉、味觉为人类获取的信息约为6%。而学生在学习数学中，知觉对象的各部分对大脑的刺激具有强弱的差别，强知觉往往会抑制弱知觉对象在大脑中产生的兴奋，造成对弱知觉对象的遗忘或产生错误。因此对于高中数学中抽象的知识，适当用“错误”来暴露问题，往往能加深学生的印象，加强对知识的理解，从而大大提高课堂教学的效率。

在学生学习了复合函数的单调性后，针对学生出现的问题，我引用了学生的错题。

例2  求函数 的单调区间。

误解：这是由 和 构成的复合函数。

设 ，则复合函数 =

因为对数函数 在 上是增函数，而    

当 时是减函数；当 时是增函数。

所以 是复合函数的单调递减区间； 是单调递增区间。

接下来让学生讨论并回答（1）这个结论正确吗？你能分析它出错的原因吗？

（2）在求复合函数的单调性时应注意的点？

作出正确求解后，把“2”变成“ ”和“ ”再让学生讨论求解。

3．尝试错误教学有利于开阔学生的思维空间，培养学生思维的独立性、全面性与批判性。

尝试错误教学，要求学生对问题进行重新审视，认真独立思考。去发现题中的错误之处，实际上开拓了学生学习数学的思路，锻炼了学生的创造性思维；尝试错误教学还要求不同的学生能积极参与问题的讨论，提出自己的不同看法，综合在一起，就形成了比较全面的观点，有利于锻炼学生思考数学问题的全面性；而争辩必有所感、所悟，提高了学生思考问题的深刻性。

在学习了函数与二次函数的有关知识点后，针对学生出现的问题，我设计了下面一道题。

例3    若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。

误解：令 则原命题等价于 恒成立。

    由二次函数知识可得 ：    

要求学生思考、讨论：①错误的原因；②在原有的基础上能弥补吗；③有更好的解法吗。

通过一段时间的思考、争论，很快学生找到了出错的根源，并给出了不同的解法（二次函数法、分离最值法、求导数法等）。接下来进行适当变题：

变式1：若不等式 有解，求实数 的取值范围。

变式2：若方程 有解，求实数 的取值范围。

这样的例子在高中数学中有很多，如果我们教师适时设计类似的问题对学生训练，不仅能避免错误，还能提高学生思维的深刻性和全面性。

4．尝试错误教学有利于培养、提高学生承受挫折的能力，养成良好的学习品质。

俗话说“失败乃成功之母”，科学的成功往往是无数次失败的积累。如果我们的学生因为一点错误，就产生急燥的心理，甚至是颓废的学习情绪，这样将对数学的持续学习非常不利；而新一轮课程改革不仅要学生成为学习的主体，也同样重视学生数学品质的培养。所以在数学教学中有必要对学生进行尝试错误训练，让学生感受学习中的错误、挫折，并冷静分析受挫的根源，在困难中奋起，进而提高自己的受挫折能力，培养学习数学所必须的学习品质。

     例4 在数列 中，若 。

则该数列的通项

解；不少学生往往把解题的思维定在表面的 与 上，从而无法从已知等式中进一步转化出更简单的等式，使解题无法正常进行。事实上，让学生再次冷静思考，认真剖析已知等式的特征，本题还是有好几种解法。

解法一：归纳、猜测（不需证明）

解法二：右边的式子是数列 的前 项和 ，因此求通项经常会用递退相减

      

则

（1）-（2）得： ---------（*）

由叠乘得：

同样的，在这个求解中，学生又会犯严重的错误，忽视了递退过程中的分类讨论，实际上等式 中必须满足“ ”，也既此式不包括 。

所以由叠乘得：

令条件中 得：     所以 =1不符合（*）式。

因此

总之，错误是人人会犯下的，可贵的是从“错误”中找到宝贵的学习财富，“错”往往孕育着比“正确”更丰富的内涵和创造因素。我们的数学教师，在平时的教学中，必须用敏锐的眼光出捕捉、出发现学生学习中的“错误”，提炼“错误”中的可贵东西，变“废”为“宝”。