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追踪线性规划考查新动向

南通市第二中学 丁建国

发表于《数学周报》 第8期 ISSN1002-2171

线性规划在高中数学中属于B级要求，在考试中常常以基本题、中档题的难度出现，但最近在一些地方也出现了一些新动向值得关注，这有可能加大了线性规划的难度。本文试列举近期线性规划考查的一些新动向，与同学们共享。

一、变凑目标函数

例1.已知实数 满足约束条件 ，求 的取值范围。

简析：作约束条件表示的可行域如图1所示， 表示 与可行域上的一点 连线的斜率的2倍加1。

，

的取值范围为 ，

的取值范围为

点评：求形如 型的取值范围，关键先将目标函数变凑为 ，再利用其几何意义来解决。

二、求解字母参系数

例2. 已知实数 满足约束条件 ，且 的最大值为9，则实数 = 。

简析：作约束条件表示的可行域如图2所示，直线 恒过定点 ，若 ，则 无最大值，故 。此时可行域为一个三角形，由 得点A ， ，解得 。

例3. 已知实数 满足约束条件 ，且目标函数 仅在点 处取得最小值，则实数 的取值范围为 。

简析：作约束条件表示的可行域如图3所示，可行域为 的内部及边界。因为目标函数 仅在点 处取得最小值，所以直线 的斜率 或 ，

又 ，解得 。

点评：例2字母参数含于约束条件中，例3字母参数含于目标函数中，求有关字母参数的问题核心是研究线性规划的最优解。

三、考查可行域的面积

例4.不等式组 所表示的平面区域被直线 分成面积相等的两部分，则实数 = 。

简析：作出不等式组表示的可行域如图4所示，可行域为 的内部及边界。因为目标函数 恰过点 ，该直线把 分成面积相等的两部分，故直线过 的中点 ， ，解得 。

例5.若S 为不等式组 表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时,动直线 扫过S中的那部分区域面积为 。

简析：作出不等式组表示的平面区域如图5所示，可行域为 的内部及边界。当a从-2连续变化到1时,动直线 扫过S中的区域为图中阴影部分， 。

点评：例4与例5都与可行域的面积问题有关，需用到平面几何的有关知识。

四、缺省约束条件

例6.平面直角坐标系XOY中，设A、B、C是圆 上相异的三点，若存在正实数 ，使得 ,则 的取值范围为 。

简析： , ,

,

,

所以实数 满足不等式组 ，做出可行域如图6所示。目标函数表示可行域上的点 与定点 的距离 的平方。易得 ， ，即 的取值范围为 。

点评：本题实质为线性规划问题，但题中缺省约束条件。这里要联想运用向量的三角不等式 才能寻找到约束条件。

五、与其它知识点的交汇

例7. 设实数 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为12，则 的最小值为 。

简析：作出约束条件表示的可行域如图7所示。

目标函数 的最大值为12，

当 时， ，即 。

例8. 不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数 的图像上存在平面区域为D上的点，则 的取值范围为 。

简析：作出不等式组表示的可行域如图8所示，可行域D为 的内部及边界。

易得 ，当指数函数 的图像过 时， ;

当指数函数 的图像过 时， ，

的取值范围为[2,9].

点评：例7中的线性规划与基本不等式进行了交汇，例8与指数函数进行了交汇，体现不同知识之间的重组及解法的综合性。